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Comprender el concepto de límite quizlet
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).[1] Si tal límite existe, la sucesión se llama convergente.[2] Una sucesión que no converge se dice divergente.[3] Se dice que el límite de una sucesión es la noción fundamental sobre la que descansa en última instancia todo el análisis matemático.[1]
Leucipo, Demócrito, Antifón, Eudoxo y Arquímedes desarrollaron el método de agotamiento, que utiliza una secuencia infinita de aproximaciones para determinar un área o un volumen. Arquímedes consiguió sumar lo que hoy se llama una serie geométrica.
Grégoire de Saint-Vincent dio la primera definición de límite (término) de una serie geométrica en su obra Opus Geometricum (1647): “El término de una progresión es el final de la serie, al que ninguna progresión puede llegar, aunque no se continúe en el infinito, pero al que puede acercarse más que un segmento dado”[4].
Definición formal de los límites
A estas alturas ya has pasado de la definición muy informal de límite de la introducción de este capítulo a la comprensión intuitiva de un límite. En este punto, deberías tener un sentido intuitivo muy fuerte de lo que significa el límite de una función y cómo puedes encontrarlo. En esta sección, convertimos esta idea intuitiva de un límite en una definición formal utilizando un lenguaje matemático preciso. La definición formal de un límite es posiblemente una de las definiciones más desafiantes que encontrará al principio de su estudio del cálculo; sin embargo, vale la pena cualquier esfuerzo que haga para reconciliarla con su noción intuitiva de un límite. La comprensión de esta definición es la llave que abre la puerta a una mejor comprensión del cálculo.
Esta definición puede parecer bastante compleja desde el punto de vista matemático, pero resulta más fácil de entender si la desglosamos frase a frase. El enunciado en sí implica algo llamado cuantificador universal (para cada \(ε>0\)), un cuantificador existencial (existe un \(δ>0\)) y, por último, un enunciado condicional (si \(0<|x-a|<δ\), entonces \(|f(x)-L|<ε)\). Echemos un vistazo a la tabla \(\PageIndex{1}), que desglosa la definición y traduce cada parte.
Ilustrar el límite de una función utilizando una tabla de valores y la gráfica de la función
Regla constante Regla múltiple Regla de adición/resta Regla de potencia Regla del producto Regla del cociente Regla de la cadena Derivadas trigonométricas Derivadas trigonométricas inversas Diferenciación implícita Derivadas exponenciales Derivadas logarítmicas Diferenciación logarítmica Derivadas de funciones inversas Derivadas hiperbólicas Derivadas hiperbólicas inversas Derivadas de orden superior Trucos de derivación
(Primer) Teorema Fundamental del Cálculo Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Integración por Sustitución Sustitución Integral – Términos Extra Integrales Definidas Usando Sustitución Integración Por Partes Fracciones Parciales
Integración Trig Calc 1 Integración Trig Calc 2 Sustitución de Weierstrass Integración inversa seno-coseno Fórmula de reducción del seno Fórmula de reducción del coseno Integración secante-tangente Fórmula de reducción de la tangente Fórmula de reducción de la secante Sustitución Trig Sustitución Tangente Sustitución Seno Sustitución Secante
Prueba de divergencia (enésimo término) Serie p Serie geométrica Serie alterna Serie telescópica Prueba de relación Prueba de comparación de límites Prueba de comparación directa Prueba integral Prueba de raíz Tabla de series infinitas Por dónde empezar – Elegir una prueba
¿Qué son limites materiales y formales? en línea
¶Como hemos señalado anteriormente, la definición de límites con la que hemos estado trabajando era bastante informal y no era matemáticamente rigurosa. En esta sección (opcional) trabajaremos para entender la definición rigurosa de límites.
Lo anterior es un argumento pictórico, pero podemos convertirlo fácilmente en uno matemático. Queremos demostrar que el límite es \(6\text{.}) Eso significa que para cualquier \(\epsilon\) tenemos que encontrar un \(\delta\) para que cuando
es decir – no importa lo que \(\epsilon \gt 0\) se elige, si ponemos \(\delta=\epsilon/2\) entonces cuando \(3-\delta \lt x \lt 3+\delta\) con \(x \neq 3\) tendremos \(6-\epsilon \lt f(x) \lt 6+\epsilon\text{.}) Esto es exactamente lo que necesitamos para satisfacer la definición de “límite” anterior.
Debido a la \(\epsilon\) y \(\delta\) en la definición de límites, necesitamos tener \(\epsilon\) y \(\delta\) en la prueba. Aunque \(\epsilon\) y \(\delta\) son sólo símbolos que desempeñan papeles particulares, y podrían ser sustituidos por otros símbolos, este estilo de demostración suele llamarse demostración \(\epsilon\) – \delta\.