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Problemas de límites
Los límites en matemáticas se definen como los valores a los que se aproxima una función para los valores de entrada dados. Los límites desempeñan un papel fundamental en el cálculo y el análisis matemático y se utilizan para definir las integrales, las derivadas y la continuidad. Se utiliza en el proceso de análisis y siempre se refiere al comportamiento de la función en un punto determinado. El límite de una sucesión se generaliza en el concepto de límite de una red topológica y se relaciona con el límite y el límite directo en la categoría de teoría. En general, las integrales se clasifican en dos tipos: integrales definidas e indefinidas. Para las integrales definidas, el límite superior y el límite inferior se definen correctamente. Mientras que las integrales indefinidas se expresan sin límites, y tendrá una constante arbitraria al integrar la función. Vamos a discutir la definición y representación de los límites de la función, con propiedades y ejemplos en detalle.
Los límites en matemáticas son números reales únicos. Consideremos una función de valor real “f” y el número real “c”, el límite se define normalmente como \lim _{x \rightarrow c} f(x)=L\). Se lee como “el límite de f de x, a medida que x se acerca a c es igual a L”. El “lim” muestra el límite, y el hecho de que la función f(x) se acerca al límite L a medida que x se acerca a c se describe con la flecha de la derecha.
Encontrar el límite
En la sección anterior, evaluamos los límites observando las gráficas o construyendo una tabla de valores. En esta sección, establecemos leyes para calcular límites y aprendemos a aplicar estas leyes. En el Proyecto del Estudiante al final de esta sección, tienes la oportunidad de aplicar estas leyes de límites para derivar la fórmula del área de un círculo adaptando un método ideado por el matemático griego Arquímedes. Empezaremos repitiendo dos resultados útiles de la sección anterior. Estos dos resultados, junto con las leyes de los límites, sirven de base para calcular muchos límites.
Sean definidos \(f(x)\Ny \N(g(x)\Npara todo \N(x≠a\N) sobre algún intervalo abierto que contenga a \N(a\N). Supongamos que \(L\) y \(M\) son números reales tales que \(\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=L\) y \(\displaystyle \lim_{x→a}g(x)=M\). Sea \(c\) una constante. Entonces, cada una de las siguientes afirmaciones se cumple:
Apliquemos las leyes de los límites paso a paso para asegurarnos de que entendemos cómo funcionan. Debemos tener en cuenta el requisito de que, en cada aplicación de una ley límite, los nuevos límites deben existir para que la ley límite se aplique.
Fórmulas de límites pdf
De este ejemplo debería quedar claro que para evaluar el límite de cualquier potencia de x a medida que x se acerca a cualquier valor, basta con evaluar la potencia en ese valor. La aplicación repetida del Teorema 2 lo afirma.
El estudiante podría pensar que para evaluar un límite a medida que x se acerca a un valor, todo lo que hacemos es evaluar la función en ese valor. Una de las clases más importantes de funciones para las que esto es cierto son los polinomios. (Tema 6 de Precálculo.) Un polinomio en x tiene esta forma general:
Ejemplo 2. Consideremos la función g(x) = x + 2, cuya gráfica es una recta simple. Y sólo para ser perversos (y para ilustrar un punto lógico al que volveremos en la lección 3), dejemos que la siguiente función f(x) no esté definida para x = 2. Es decir, que
Pues toda secuencia de valores de x que se acerque a 2, puede acercarse tanto a 2 como queramos. (El límite de una variable nunca es un miembro de la secuencia, en cualquier caso; Definición 2.1.) Por tanto, los valores correspondientes de f(x) se acercarán cada vez más a 4. Se cumplirá la definición 2.2.
Calculadora de límites
En matemáticas, un límite es el valor al que se aproxima una función (o secuencia) a medida que la entrada (o índice) se acerca a algún valor[1] Los límites son esenciales para el cálculo y el análisis matemático, y se utilizan para definir la continuidad, las derivadas y las integrales.
Augustin-Louis Cauchy en 1821,[4] seguido por Karl Weierstrass, formalizó la definición del límite de una función que se conoció como la definición (ε, δ) de límite. La definición utiliza ε (la letra griega minúscula épsilon) para representar cualquier número positivo pequeño, de modo que “f(x) se acerca arbitrariamente a L” significa que f(x) se encuentra finalmente en el intervalo (L – ε, L + ε), que también puede escribirse utilizando el valor absoluto como |f(x) – L| < ε. [4] La frase “a medida que x se acerca a c” indica entonces que nos referimos a valores de x cuya distancia a c es menor que algún número positivo δ (la letra griega minúscula delta), es decir, valores de x dentro de (c – δ, c) o (c, c + δ), lo que puede expresarse con 0 < |x – c| < δ. La primera desigualdad significa que x ≠ c, mientras que la segunda indica que x está dentro de la distancia δ de c.[4]